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corige

PARTIE A 1. $f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $[0,5; 8]$ : $$u\left(x\right)=20\left(x-1\right)u(x)=20(x−1)$$ $$u^{\prime}\left(x\right)=20$$ $$v\left(x\right)=e^{-0,5x}$$ $$v^{\prime}\left(x\right)=-0,5e^{-0,5x}$$ On a donc : $$f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)$$ $$f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}+20\left(x-1\right)\times -0,5e^{-0,5x}$$ ​​ $$f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}\left(1,5-0,5x\right)$$ $$f^{\prime}\left(x\right) = 10e^{-0,5x}\left(3-x\right)$$ 2. $10e^{-0,5x} > 0$ sur $[0,5;8]$ donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $3-x$ 3.On obtient le tableau de variations suivant :
4.
PARTIE B $$f\left(2,2\right)=20\times \left(2,2-1\right)e^{-0,5\times 2,2}=24e^{-1,1}\approx 7,989$$ Le bénéfice réalisé par la production de 220 bicyclettes est $7 989dh$ $$f\left(4,08\right)=61,6e^{-2.04}\approx 8,01$$ Le bénéfice réalisé par la production de $408$ bicyclettes est $8 010dh$ L'entreprise fait des bénéfices si et seulement si $$f\left(x\right) > 0.$$ Or $20e^{-0,5x} > 0$ sur $[0,5;8]$ donc $f\left(x\right)$ est du signe de $x-1$ et $f\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ L'entreprise doit produire au moins 100 bicyclettes par mois pour réaliser des bénéfices. D'après la partie A, la fonction $f$ atteint son maximum pour $x = 3$ L'entreprise doit donc produire $300$ bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de $1000\times f\left(3\right)\approx 8 925dh$ On sait d'après la question 1. que $f\left(2,2\right) < 8 et $f\left(4,08\right) > 8$. On vérifie à la calculatrice que $f\left(2,21\right) > 8$ et $f\left(4,09\right) < 8$ Graphiquement ou d'après le tableau de variation de $f$ on en déduit que l'entreprise doit produire entre $221$ et $408$ bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à $8 000dh$
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